Dưới đây là đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh/thành Hà Nội năm 2026 chính thức cùng đáp án và lời giải chi tiết từng câu. Tài liệu được cập nhật ngay sau khi kỳ thi kết thúc ngày 30/5-1/6.
Thông tin kỳ thi vào lớp 10 Hà Nội năm 2026
- Ngày thi: 31/5/2026
- Môn thi: Toán
- Thời gian làm bài: 120 phút
- Cấu trúc đề: Đề thi gồm 5 câu hỏi tự luận, bao quát các chủ đề: Thống kê – Xác suất, Biểu thức đại số, Giải toán bằng cách lập phương trình/hệ phương trình, Hình học không gian, Hình học phẳng và Bài toán tối ưu (Bất đẳng thức).
- Thang điểm: 10 điểm
Đề thi chính thức môn Toán Hà Nội năm 2026
Câu I (1,5 điểm)
1) Kết quả đo chiều cao của 50 học sinh lớp 6 (đơn vị: cm) được thống kê trong bảng tần số ghép nhóm sau đây:
| Chiều cao (cm) | $[140; 145)$ | $[145; 150)$ | $[150; 155)$ | $[155; 160)$ | $[160; 165)$ |
| Số học sinh | 10 | 18 | 14 | 6 | 2 |
Xác định tần số và tần số tương đối của nhóm $[150; 155)$.
2) Một hộp đựng 6 quả bóng cùng loại, mỗi quả bóng ghi một trong các số $1, 2, 3, 4, 5, 6$; hai quả bóng khác nhau được ghi hai số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp. Tính xác suất của biến cố $A$: “Số ghi trên quả bóng lấy được là số chẵn”.
Câu II (1,5 điểm)
Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} – 4}{\sqrt{x}}$ và $B = \frac{4}{\sqrt{x} – 3} + \frac{x – 7\sqrt{x} – 12}{x – 9}$ với $x > 0, x \neq 9$.
1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 25$.
2) Chứng minh $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$.
3) Tìm tất cả giá trị của $x$ để biểu thức $P = A.B$ có giá trị là số nguyên.
Câu III (2,5 điểm)
1) Một tổ sản xuất lập kế hoạch may áo với số lượng áo mỗi ngày may được là như nhau. Trong 3 ngày đầu, mỗi ngày tổ đã may theo đúng kế hoạch. Trong 7 ngày tiếp theo, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã may được nhiều hơn 5 chiếc áo so với kế hoạch. Vì vậy sau 10 ngày, tổ đã may được tổng số 335 chiếc áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất may bao nhiêu chiếc áo?
2) Một người mua 25 bông hoa gồm hoa hồng và hoa cúc hết tổng số tiền là 180 nghìn đồng. Biết giá tiền mỗi bông hoa hồng là 8 nghìn đồng, giá tiền mỗi bông hoa cúc là 6 nghìn đồng. Hỏi người đó đã mua bao nhiêu bông hoa mỗi loại?
3) Biết phương trình bậc hai $x^2 – 3x + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, tính giá trị của biểu thức $Q = \frac{3x_2 – 1}{x_1} + \frac{3x_1 – 1}{x_2}$.
Câu IV (4,0 điểm)
1) Một xô đựng nước dạng hình trụ có chiều cao bằng $25\text{ cm}$ và bán kính đáy bằng $12\text{ cm}$. (Lấy $\pi \approx 3,14$ và coi độ dày của xô đựng nước không đáng kể).
a) Tính diện tích xung quanh của xô đựng nước đó.
b) Người ta dùng xô đựng nước trên để múc nước đổ vào một bể có thể tích $150\text{ lít}$. Mỗi lần người ta chỉ múc lượng nước bằng $80\%$ thể tích của xô. Lúc đầu bể không có nước, hỏi cần múc ít nhất bao nhiêu xô để đầy bể? (Biết $1\text{ lít} = 1000\text{ cm}^3$).
2) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn tâm $O$, đường kính $BC$. Lấy điểm $H$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $HB > HA$ ($H$ khác $A$). Kẻ đường thẳng qua $H$ vuông góc với đường thẳng $BC$ tại điểm $D$ và cắt đường thẳng $AC$ tại điểm $E$.
a) Chứng minh bốn điểm $A, H, D, C$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường thẳng $CH$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $F$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với đường thẳng $ED$ cắt đường thẳng $DF$ tại điểm $M$. Chứng minh $AE.BC = EH.AB$ và $\widehat{EMH} = 90^\circ$.
c) Đường thẳng $BM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $K$. Chứng minh tam giác $HKM$ là tam giác cân.
Câu V (0,5 điểm)
Một công ty dự định thuê một kho xưởng và điều động một số công nhân để hoàn thành đơn hàng 1000 sản phẩm. Chi phí thuê kho xưởng được tính theo ngày với giá 3 triệu đồng một ngày. Biết một ngày mỗi công nhân làm được 5 sản phẩm và công ty dự định thưởng mỗi công nhân 1 triệu đồng sau khi đơn hàng được hoàn thành. Công ty muốn tổng chi phí thuê kho xưởng và thưởng công nhân khi hoàn thành đơn hàng là nhỏ nhất. Hỏi công ty nên điều động bao nhiêu công nhân và thuê kho xưởng trong bao nhiêu ngày?
Đáp án và lời giải chi tiết đề thi môn Toán Hà Nội năm 2026
Câu I:
1) Dựa vào bảng thống kê, ta thấy nhóm $[150; 155)$ có số học sinh là 14.
– Tần số của nhóm $[150; 155)$ là: $14$.
– Tổng số học sinh là $N = 50$. Tần số tương đối của nhóm $[150; 155)$ là: $f = \frac{14}{50} \cdot 100\% = 28\%$.
2) Không gian mẫu khi lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp 6 quả là $\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$. Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = 6$.
Biến cố $A$: “Số ghi trên quả bóng lấy được là số chẵn”. Các kết quả thuận lợi cho $A$ là $\{2; 4; 6\}$. Số kết quả thuận lợi là $n(A) = 3$.
Xác suất của biến cố $A$ là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Câu II:
1) Thay $x = 25$ (thỏa mãn điều kiện $x > 0, x \neq 9$) vào biểu thức $A$, ta có:
$$A = \frac{\sqrt{25} – 4}{\sqrt{25}} = \frac{5 – 4}{5} = \frac{1}{5}$$
Vậy khi $x = 25$ thì $A = \frac{1}{5}$.
2) Với $x > 0, x \neq 9$, ta có:
$$B = \frac{4}{\sqrt{x} – 3} + \frac{x – 7\sqrt{x} – 12}{(\sqrt{x} – 3)(\sqrt{x} + 3)}$$
$$B = \frac{4(\sqrt{x} + 3) + x – 7\sqrt{x} – 12}{(\sqrt{x} – 3)(\sqrt{x} + 3)}$$
$$B = \frac{4\sqrt{x} + 12 + x – 7\sqrt{x} – 12}{(\sqrt{x} – 3)(\sqrt{x} + 3)}$$
$$B = \frac{x – 3\sqrt{x}}{(\sqrt{x} – 3)(\sqrt{x} + 3)}$$
$$B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} – 3)}{(\sqrt{x} – 3)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$$
Vậy $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$ (đpcm).
3) Ta có $P = A.B = \frac{\sqrt{x} – 4}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} = \frac{\sqrt{x} – 4}{\sqrt{x} + 3}$.
Biến đổi $P = \frac{\sqrt{x} + 3 – 7}{\sqrt{x} + 3} = 1 – \frac{7}{\sqrt{x} + 3}$.
Để $P$ có giá trị nguyên thì $\frac{7}{\sqrt{x} + 3}$ phải là số nguyên, suy ra $\sqrt{x} + 3$ là ước của $7$.
Các ước của $7$ là $\pm 1, \pm 7$. Do $x > 0 \Rightarrow \sqrt{x} > 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 3 > 3$.
Do đó, ta chỉ nhận giá trị $\sqrt{x} + 3 = 7 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 4 \Leftrightarrow x = 16$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy $x = 16$ là giá trị cần tìm.
Câu III:
1) Gọi số áo mỗi ngày tổ sản xuất may theo kế hoạch là $x$ (chiếc) ($x \in \mathbb{N}^*$).
Số áo may được trong 3 ngày đầu là: $3x$ (chiếc).
Số áo may được mỗi ngày trong 7 ngày tiếp theo là: $x + 5$ (chiếc).
Số áo may được trong 7 ngày tiếp theo là: $7(x + 5)$ (chiếc).
Vì sau 10 ngày tổ may được tổng cộng 335 chiếc áo nên ta có phương trình:
$$3x + 7(x + 5) = 335$$
$$\Leftrightarrow 3x + 7x + 35 = 335$$
$$\Leftrightarrow 10x = 300 \Leftrightarrow x = 30 \text{ (thỏa mãn)}$$
Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất may 30 chiếc áo.
2) Gọi số bông hoa hồng người đó mua là $x$ (bông), số bông hoa cúc là $y$ (bông) ($x, y \in \mathbb{N}^*; x, y < 25$).
Tổng số hoa là 25 bông nên ta có phương trình: $x + y = 25$ (1).
Tổng số tiền mua hoa là 180 nghìn đồng nên ta có phương trình: $8x + 6y = 180$ (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$$\begin{cases} x + y = 25 \\ 8x + 6y = 180 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6x + 6y = 150 \\ 8x + 6y = 180 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x = 30 \\ y = 25 – x \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 15 \\ y = 10 \end{cases} \text{ (thỏa mãn)}$$
Vậy người đó đã mua 15 bông hoa hồng và 10 bông hoa cúc.
3) Phương trình $x^2 – 3x + 1 = 0$ có $\Delta = (-3)^2 – 4.1.1 = 5 > 0$ nên luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1x_2 = 1 \end{cases}$.
Ta có: $Q = \frac{3x_2 – 1}{x_1} + \frac{3x_1 – 1}{x_2} = \frac{x_2(3x_2 – 1) + x_1(3x_1 – 1)}{x_1x_2} = \frac{3(x_1^2 + x_2^2) – (x_1 + x_2)}{x_1x_2}$
Tính $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2 = 3^2 – 2.1 = 7$.
Thay vào $Q$, ta được: $Q = \frac{3.7 – 3}{1} = 21 – 3 = 18$.
Vậy $Q = 18$.
Câu IV:
1)
a) Diện tích xung quanh của xô đựng nước là:
$$S_{xq} = 2\pi rh \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 12 \cdot 25 = 1884 \text{ (cm}^2\text{)}$$
b) Thể tích của xô đựng nước là:
$$V_{xô} = \pi r^2h \approx 3,14 \cdot 12^2 \cdot 25 = 11304 \text{ (cm}^3\text{)}$$
Thể tích nước mỗi lần múc là: $V_{múc} = 80\% \cdot 11304 = 9043,2 \text{ (cm}^3\text{)}$.
Thể tích của bể là $150\text{ lít} = 150000\text{ cm}^3$.
Số lần múc ít nhất để đầy bể là: $\frac{150000}{9043,2} \approx 16,58$.
Vì số lần múc phải là số tự nhiên nên cần múc ít nhất 17 xô để đầy bể.
2)
a) Chứng minh bốn điểm $A, H, D, C$ cùng thuộc một đường tròn.
Xét tứ giác $AHDC$, ta có:
$\widehat{HAC} = 90^\circ$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$).
$\widehat{HDC} = 90^\circ$ (do $HD \perp BC$ tại $D$).
Suy ra $\widehat{HAC} + \widehat{HDC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác $AHDC$ nội tiếp đường tròn đường kính $HC$. Vậy 4 điểm $A, H, D, C$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh $AE.BC = EH.AB$ và $\widehat{EMH} = 90^\circ$.
* Chứng minh $AE.BC = EH.AB$:
Vì tứ giác $AHDC$ nội tiếp nên $\widehat{AHE} = \widehat{ACD}$ (cùng bù với $\widehat{AHD}$). Hay $\widehat{AHE} = \widehat{ACB}$.
Xét $\triangle EAH$ và $\triangle BAC$ có:
$\widehat{EAH} = \widehat{BAC} = 90^\circ$
$\widehat{AHE} = \widehat{BCA}$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow \triangle EAH \sim \triangle BAC$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{EA}{BA} = \frac{EH}{BC} \Rightarrow AE.BC = EH.AB$ (đpcm).
* Chứng minh $\widehat{EMH} = 90^\circ$:
Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $ED$. Do $AM \perp ED$ nên $\widehat{AIE} = 90^\circ$.
Trong $\triangle EBC$, có $BA \perp EC$ và $ED \perp BC$. $BA$ cắt $ED$ tại $H$ nên $H$ là trực tâm của $\triangle EBC$. Suy ra $CH \perp EB$ tại $F$.
Ta có tứ giác $AHDC$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{HDA} = \widehat{HCA}$.
Tứ giác $BDHF$ nội tiếp (do $\widehat{HDB} = \widehat{HFB} = 90^\circ$) $\Rightarrow \widehat{HDF} = \widehat{HBF}$.
Mà $\widehat{HCA} = \widehat{HBF}$ (cùng phụ với $\widehat{BEC}$) $\Rightarrow \widehat{HDA} = \widehat{HDF}$.
Suy ra $DH$ (hay $ED$) là tia phân giác của $\widehat{ADF}$.
Xét $\triangle ADM$ có $DI$ vừa là đường cao ($DI \perp AM$), vừa là đường phân giác (do $M \in DF$) nên $\triangle ADM$ cân tại $D$. Suy ra $DI$ là đường trung trực của $AM$.
Vì $E, H$ nằm trên đường trung trực $DI$ của $AM$ nên $EA = EM$ và $HA = HM$.
Xét $\triangle EAH$ và $\triangle EMH$ có: $EA = EM$, $HA = HM$, $EH$ chung $\Rightarrow \triangle EAH = \triangle EMH$ (c.c.c).
$\Rightarrow \widehat{EMH} = \widehat{EAH} = 90^\circ$ (đpcm).
c) Chứng minh tam giác $HKM$ là tam giác cân.
Ta có $A, B, K, C \in (O)$ nên $\widehat{AKB} = \widehat{ACB}$.
Vì $M, K, B$ thẳng hàng nên $\widehat{AKM} = 180^\circ – \widehat{AKB} = 180^\circ – \widehat{ACB}$.
Trong $\triangle AHI$ vuông tại $I$, ta có $\widehat{AHI} = \widehat{AHE} = \widehat{ACB}$ (chứng minh ở câu b).
Vì $\triangle HAM$ cân tại $H$ có $HI$ là đường cao nên $HI$ cũng là phân giác $\Rightarrow \widehat{AHM} = 2\widehat{AHI} = 2\widehat{ACB}$.
Xét đường tròn ngoại tiếp $\triangle AKM$, giả sử tâm là $H’$. Vì $H’$ là tâm đường tròn đi qua $A, M$ nên $H’$ nằm trên đường trung trực của $AM$ (chính là đường thẳng $ED$).
Góc nội tiếp $\widehat{AKM} = 180^\circ – \widehat{ACB}$ chắn cung lớn $AM$, suy ra góc ở tâm chắn cung nhỏ $AM$ là $\widehat{AH’M} = 2(180^\circ – (180^\circ – \widehat{ACB})) = 2\widehat{ACB}$.
Ta thấy $H$ và $H’$ cùng nằm trên tia $ED$ (cùng phía so với $AM$) và cùng tạo với đoạn $AM$ một góc $2\widehat{ACB}$ nên $H$ trùng với $H’$.
Vậy $H$ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle AKM$. Suy ra $HK = HM = HA$.
Do $HK = HM$ nên $\triangle HKM$ cân tại $H$ (đpcm).
Câu V:
Gọi số công nhân công ty điều động là $x$ (người) ($x \in \mathbb{N}^*$).
Gọi số ngày thuê kho xưởng là $y$ (ngày) ($y > 0$).
Tổng số sản phẩm hoàn thành là: $5xy = 1000 \Rightarrow xy = 200 \Rightarrow y = \frac{200}{x}$.
Tổng chi phí $C$ (triệu đồng) bao gồm tiền thuê kho và tiền thưởng là:
$$C = 3y + 1 \cdot x = 3\left(\frac{200}{x}\right) + x = \frac{600}{x} + x$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $\frac{600}{x}$ và $x$, ta có:
$$C = \frac{600}{x} + x \ge 2\sqrt{\frac{600}{x} \cdot x} = 2\sqrt{600} \approx 48,99$$
Dấu “=” xảy ra khi $x = \frac{600}{x} \Leftrightarrow x^2 = 600 \Leftrightarrow x \approx 24,49$.
Vì $x$ là số nguyên dương, ta xét các giá trị nguyên gần $24,49$ nhất là $x = 24$ và $x = 25$.
– Nếu $x = 24 \Rightarrow y = \frac{200}{24} = \frac{25}{3}$ (ngày). Chi phí $C = 24 + \frac{600}{24} = 49$ (triệu đồng). Tuy nhiên, thuê kho xưởng tính theo ngày trọn vẹn, nếu thuê $\frac{25}{3}$ ngày thực tế phải trả tiền 9 ngày, khi đó chi phí là $24 + 3 \cdot 9 = 51$ (triệu đồng).
– Nếu $x = 25 \Rightarrow y = \frac{200}{25} = 8$ (ngày). Chi phí $C = 25 + \frac{600}{25} = 49$ (triệu đồng).
So sánh ta thấy phương án $x = 25, y = 8$ cho chi phí nhỏ nhất và số ngày là số nguyên hợp lý.
Vậy công ty nên điều động 25 công nhân và thuê kho xưởng trong 8 ngày.
Nhận xét đề thi môn Toán Hà Nội năm 2026
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán của Hà Nội năm 2026 giữ vững cấu trúc quen thuộc của các năm trước, đảm bảo tính phân loại cao. Các câu I, II, III thuộc mức độ cơ bản và khá, học sinh dễ dàng lấy được 5,5 – 6,0 điểm nếu nắm chắc kiến thức nền tảng. Điểm nhấn của đề nằm ở câu IV (Hình học) và câu V (Bất đẳng thức). Ý c của bài hình đòi hỏi tư duy linh hoạt trong việc nhận diện tâm đường tròn ngoại tiếp thông qua quỹ tích cung chứa góc. Bài toán thực tế ở câu V rất thú vị, không chỉ yêu cầu kỹ năng dùng bất đẳng thức AM-GM mà còn đòi hỏi học sinh phải biện luận nghiệm nguyên thực tế (số ngày thuê kho), đây là một bẫy nhỏ để phân loại học sinh xuất sắc đạt điểm 10.
Xem thêm đề thi các tỉnh khác năm 2026
✅ Nội dung học - ôn - luyện bám sát cấu trúc đề thi của Sở GD&ĐT
✅ Đội ngũ giáo viên top đầu, giàu kinh nghiệm luyện thi vào 10
✅ Dịch vụ hỗ trợ tối ưu 24/7 - giải đáp nhanh chóng mọi thắc mắc trong quá trình học
🎉 Ưu đãi đặc biệt: Giảm đến 45% học phí Áp dụng cho PHHS đăng ký trong tháng này!
